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Similitud rítmica en el flamenco

Escrito por Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
Jueves 10 de Marzo de 2011
1. Introducción 

El discurso musical progresa a través de múltiples transformaciones de su material musical. Estas transformaciones ocurren en el ámbito melódico, rítmico, armónico, tímbrico, en la conducción de voces y en la estructura formal. Cómo varíe el material musical, acorde a qué reglas gramaticales, es propio e idiomático de cada estilo y época. Además, la percepción y evaluación de las transformaciones del material musical por parte del oyente dependerán intrínsecamente del concepto de similitud musical. Dada su importancia, este concepto se ha examinado con profundidad y aún hoy sigue siendo objeto de investigación intensa. La similitud musical se ha estudiado por varias disciplinas: en etnomusicología [BL51], [See66]; en análisis musical [LJ83], [Mey73]; en la resolución de conflictos de propiedad intelectual [Cro98]; en tecnología musical [MS90]; en psicología de la música [Sch99], [HE01], [MM01], [HE02], [HCR03]. Sin embargo, es un problema difícil de abordar, bien escurridizo, pues la percepción de la similitud musical es subjetiva y cambia fácilmente con el contexto. La similitud melódica y armónica se ha estudiado con más detalle que la rítmica, aunque esta situación ha empezado a cambiar recientemente. En este artículo vamos a examinar medidas de similitud rítmica en la música flamenca. Varios autores han estudiado cómo medir la complejidad rítmica. En general, las medidas explotan diversas propiedades del fenómeno rítmico. Por ejemplo, ciertas medidas asignan pesos según la jerarquía métrica, como la de Longuet-Higgins y Lee [LHC84], la complejidad métrica de Toussaint [Tou02] o el índice de contratiempo [Tou03]; otras medidas adjudican pesos a ciertos eventos musicales, tales como la medida de Keith [Kei91], de carácter combinatorio, o la medida WNBD (weighted note-to-beat distance) [GMRT05], basada en la distancia de las notas a las partes fuertes de la métrica. Para un estudio completo de estas medidas, véase Gómez et al. [GTT07]. Sin embargo, la crítica que se hace a todas estas medidas es la falta de validación perceptual, esto es, la falta de experimentos rigurosos que prueben que las medidas evalúan correctamente la similitud perceptual. El objetivo al diseñar una medida de estas características es obtener una medida que se corresponda con la percepción humana de la similitud musical, al menos bajo determinadas condiciones. Con frecuencia, las medidas se construyen en base a ciertas hipótesis o a ciertas propiedades de los ritmos, pero posteriormente no se comprueba la validez perceptual de la medida. Gómez y sus colegas en [GTT07] comprobaron la validez de 10 medidas de síncopa distintas a partir de los datos experimentales de Shmulevich y Povel [SP98]. Ese trabajo puso de manifiesto que algunas medidas tenían una validez perceptual muy pobre. Otro trabajo a destacar es el de Guastavino y sus colegas [GGT+09], en el que analizan dos distancias de similitud rítmica, presentadas en [DBFG+04], y realizan experimentos con sujetos para estudiar la correlación entre los resultados predichos por las medidas y los obtenidos por los sujetos. En el artículo de este mes examinamos las ideas y resultados expuestos en el trabajo de Guastavino y sus colegas.

2. Similitud rítmica

2.1. El ritmo flamenco

El flamenco es una música que surgió a finales del siglo XVIII en Andalucía y que está formada por una mezcla de varias influencias, tales como la propia música folclórica de Andalucía, junto con la música gitana, árabe, bizantina, incluso la música judía. La mezcla de estas influencias, destiladas por el alambique del tiempo y la práctica musical, produjeron una música altamente estilizada y compleja, con características muy peculiares. Entre las características más llamativas del flamenco se encuentra su acompañamiento con palmas. Las palmas pueden ser fuertes o sordas y en flamenco sirven como elemento métrico, como patrón de referencia temporal e incluso actúan como voz independiente, con su propia personalidad rítmica. Aquí trataremos los patrones rítmicos que sirven como referencia temporal. En música algunos autores los llaman claves [Uri96], [Ort95]. Una clave se define como un patrón rítmico que se repite durante la pieza y cuyas funciones principales son la estabilización rítmica y la organización del fraseo musical (no confundir clave con referente de densidad). Los estilos flamencos, atendiendo a su compás, se clasifican en binarios, ternarios, alternos e irregulares [Fer04]. Cada estilo en el flamenco tiene una clave asociada. Los estilos binarios usan como clave un mismo patrón rítmico, [. x x x], donde [.] representa una palma sorda y [x] una palma fuerte; no obstante, a veces se toca como la palma sorda como silencia y la palma fuerte como palma normal. Los patrones ternarios son 5 y abarcan muchos más estilos, y son el objeto de nuestro estudio. En la figura de abajo tenemos las claves asociadas a los ritmos ternarios representados con la notación de y [. ] y [x].

Similitud rítmica en el flamenco
Figura 1: Las claves ternarias del flamenco.

Claves ternarias. Pínchese en cada patrón rítmico para escuchar una versión de MIDI.

  1. FANDANGO:
  2. SOLEÁ:
  3. BULERÍA:
  4. SEGUIRIYA:
  5. GUAJIRA:

Quede claro el hecho de que es posible que la clave no se toque en una interpretación determinada de una pieza. Eso no obsta para que los músicos flamencos tengan la clave en la cabeza y la organización musical se rija por ella. Es igualmente posible oír versiones muy ornamentadas de la clave. Una misma clave sirve para varios estilos y, por tanto, los nombres que aparecen en la figura están elegidos según la nomenclatura de Gamboa [Gam02]. Por ejemplo, el patrón del fandango se usa para las sevillanas; el de la soleá para las bulerías bulerías o alegrías; el de la bulería para las bulería por soleá; el de la seguiriya para las serranas o saetas; y, finalmente, el de la guajira para las peteneras.

Para ilustrar el fenómeno de la clave, vamos a escuchar la guajira Hermosísima cubana en la interpretación de Pepe de Lucía en la película Flamenco. Ciertamente aquí no se oye a un palmero tocar el ritmo [x . . x . . x . x . x. ], pero está presente en toda la pieza. Es claro a partir de la introducción lenta y lírica de la pieza, en el minuto 0:27, y muy evidente a partir del minuto 1:00.

 

2.2. Distancias de similitud rítmica

Las dos medidas de similitud rítmica que estudiaron Guastavino y sus colegas fueron la distancia cronotónica y la distancia de permutación dirigida. La primera fue propuesta por Gustafson [Gus88] para medir la distancia rítmica entre segmentos de habla. La segunda fue propuesta por Díaz-Báñez y sus colegas en [DBFG+04]. La distancia cronotónica representa el ataque de las notas y su duración a la vez. Para ello, usa una especie de histograma en que en el eje x se representan los ataques y en el eje y la duración de las notas. En la figura 2 se muestra las representaciones cronotónicas (también llamadas TEDAS) de las claves ternarias.

Similitud rítmica en el flamenco

Figura 2: La representación cronotónica de las claves ternarias del flamenco.

La distancia cronotónica se calucla midiendo el área que queda entre dos ritmos superpuestos entre sí. La zona rayada de la última gráfica de la figura 3 representa la distancia entre el patrón del fandango y el de la bulería.

Similitud rítmica en el flamenco

Figura 3: La distancia cronotónica entre el fandango y la seguiriya (tomado de [DBFG+04]).

La distancia de permutación dirigida se basa en contar el número mínimo de operaciones para transformar un ritmo dado en otro. Es una generalización de la distancia de Hamming. Esas operaciones se limitan a intercambios de notas o silencios entre posiciones adyacentes y tienen las siguientes restricciones:

  1. Ambos ritmos han de tener el mismo número de pulsos. En nuestro caso todos tienen 12 pulsos.
  2. Se convierte el ritmo de más notas, R1, al de menos notas, R2.
  3. Cada nota de R1 tiene que moverse a una nota de R2.
  4. Cada nota de R2 ha de recibir al menos una nota de R1.
  5. Las notas no pueden cruzar el final del ritmo y aparecer por el principio.

En la figura 4 se muestra la distancia de permutación dirigida entre el fandango y la seguiriya; se pueden apreciar los movimientos de las notas de la seguiriya para transformarse en el fandango. El número de movimientos es mínimo.

Similitud rítmica en el flamenco
Figura 4: La distancia de permutación dirigida entre el fandango y la seguiriya (tomado de [DBFG+04]).

En las tablas 2.2 y 2.2 tenemos las matrices de disimilitud para ambas distancias. Las matrices se llaman de disimilitud porque las distancias reflejan cuán lejos está un ritmo de otro.

Soleá Bulería Guajira Seguiriya Fandango
Soleá 0
Bulería 6 0
Guajira 4 8 0
Seguiriya 8 12 8 0
Fandango 10 14 6 6 0

Tabla 1: Matriz de disimilitud para la distancia cronotónica.

Soleá Bulería Guajira Seguiriya Fandango
Soleá 0
Bulería 1 0
Guajira 7 8 0
Seguiriya 11 12 4 0
Fandango 7 8 2 4 0

Tabla 2: Matriz de disimilitud para la distancia cronotónica.

2.3. Grafos filogenéticos

El conjunto de distancias de las matrices es difícil de visualizar y aún menos los posibles agrupamientos que puedan esconder los datos. Desde hace mucho tiempo los bioinformáticos usan una herramienta tremendamente útil para este propósito: los árboles filogenéticos. Técnicamente, deberían llamarse grafos filogenéticos, puesto que pueden salir grafos generales, pero por razones históricas se ha mantenido el nombre así. Estos grafos se construyen de tal manera que la distancia entre dos nodos corresponde tan exactamente como es posible a la distancia dada en la matriz. Hay un índice de ajuste asociado al grafo filogenético que indica la bondad del ajuste del grafo a la matriz de distancias. El algoritmo que construye el grafo es iterativo. En principio, el algoritmo intenta ajustar la matriz a un árbol; si ello no es posible, introduce un número mínimo de nodos para realizar el ajuste. El programa que usaron Díaz-Báñez y Guastavino fue SplitsTree, creado por Hudson y Bryant [HB06]. En las figuras 5 y 6 se exponen los árboles correspondientes a ambas distancias. Nótese que el índice de ajuste es muy alto para cada distancia, 99,2% y 100%, respectivamente. Esto asegura que el grafo refleja fielmente la distancia.

 

Similitud rítmica en el flamenco
Figura 5: Árbol filogénetico para la distancia cronotónica (tomado de [GGT+09]).

 

Similitud rítmica en el flamenco
Figura 6: Grafo filogénetico para la distancia de permutación dirigida (tomado de [GGT+09]).

De la figura 5 se sigue que el grafo de la distancia cronotónica sugiere tres grupos: uno formado por el fandango y la seguiriya; un segundo, por la soleá y la bulería. Para la distancia de permutación dirigida el agrupamiento sugerido es ligeramente distinto: un primer grupo lo componen la soleá y la bulería; otro central, la guajira y el fandango; por último, está la seguiriya en un grupo aislado.

3. La validación perceptual

3.1. Los experimentos

Guastavino y sus colegas comprobaron la validez perceptual de las dos distancias en cuestión a través de una serie de experimentos. Sospechaban que la formación musical influía en la percepción, de modo que diseñaron tres experimentos: el primero fue para sujetos sin conocimientos de flamenco ni formación musical reglada; el segundo para músicos con formación clásica; y el tercero para músicos de flamenco. Por brevedad solo describiremos el primer experimento. El lector interesado puede consultar los detalles en [GGT+09]. En el experimento participaron 12 sujetos, con media de edad 25 y desviación típica 4. El experimento se diseñó para que los sujetos se concentrasen en la duración de las notas, puesto que las distancias matemáticas fueron diseñadas con esa intención. Por ello, el estímulo del experimento consistió en sonidos de palmas generados vía MIDI con el programa Finale. Los ritmos se generaron en tres diferentes tempi (es sabido que el tempo influye en la percepción musical); dichos tempi fueron 50, 70 y 90 negras por minuto, respectivamente. Se programó una aplicación para que los sujetos introdujesen los índices de disimilitud. El experimento tuvo lugar en una habitación acústicamente aislada. Los ritmos, como es habitual en estos experimentos, se presentaron en orden aleatorio. Se pedía a los sujetos que evaluasen la disimilitud entre todas las parejas de patrones rítmicos. Pinchando en la lista de ritmos se pueden oír los estímulos correspondientes al tempo de 70; a los sujetos solo se les presentaba cada ritmo una sola vez, pero ellos podían todas las veces que quisiesen.

Estímulos:

  1. FANDANGO:
  2. SOLEÁ:
  3. BULERÍA:
  4. SEGUIRIYA:
  5. GUAJIRA:

Asimismo, se llevó a cabo un análisis de varianza y se encontró que no había diferencias significativas con respecto al tempo. Cada sujeto proporcionó una matriz de disimilitud. Se sumaron todas las matrices y se obtuvo una matriz global de disimilitud. El árbol correspondiente a dicha matriz se puede observar a continuación; compárese con las figuras 5 y 6.

 

Similitud rítmica en el flamenco

Figura 7: Grafo filogénetico de la distancia perceptual (tomado de [GGT+09]).

Ignórese el nodo marcado como “ancestral” en la figura 7, pues es un ritmo extra que se añadió para comprobar cierta hipótesis que sale fuera del alcance de este artículo. Para hallar la correlación entre las matrices de disimilitud se usó el test de Mantel.

3.2. El test de Mantel

Como es conocido, hay muchas técnicas para estudiar agrupamiento: técnicas jerárquicas y no jerárquicas, escalamiento multidimensional, análisis de correspondencia, etc. Estas técnicas generan agrupamientos de los datos de entrada, pero no permiten una adecuada comparación entre dos agrupamientos dados. En nuestro estudio obtuvimos dos matrices de disimilitud y elegimos como método de agrupamiento los árboles filogenéticos, muy usados en Bioinformática. Tienen ciertas ventajas sobre otros métodos de agrupamiento y entre ellas se cuenta la facilidad de visualización. Sin embargo, el problema aquí es cómo comparar dos matrices, o equivalentemente cómo comparar dos matrices de disimilitud. Hacer la correlación directa entre las matrices sería incorrecto matemáticamente. Las distancias de las matrices claramente no son independientes, ya que cambiar una distancia afectaría a n-1 distancias. Por tanto, no podemos evaluar la relación entre las dos matrices simplemente evaluando su coeficiente de correlación entre los dos conjuntos de distancias y examinando si es estadísticamente significativa. El test de Mantel resuelve este problema realizando varios test sobre permutaciones de las matrices. El procedimiento del test de Mantel se describe brevemente a continuación (véase [Wik11] y sus referencias):

  1. Procedimiento: El procedimiento consiste en un test de permutación. Se calcula la correlación entre los dos conjuntos de [(n(n-1))/2] de distancias. Dicha correlación es a la vez la medida de correlación y el estadístico sobre el que se basa el test. En principio, cualquier coeficiente de correlación se puede usar, pero es muy frecuente tomar el coeficiente de correlación de Pearson.
  2. Contraste de hipótesis: Al contrario del procedimiento habitual con el coeficiente de correlación, para evaluar cualquier desviación de la correlación nula, las filas y columnas de la matriz se someten a permutaciones aleatorias varias veces, y se calcula el coeficiente de correlación cada vez. La significación de la correlación observada es la proporción de dichas permutaciones que conducen a un coeficiente de correlación alto.
  3. La hipótesis nula: el razonamiento es que si la hipótesis nula de que no hay relación entre las matrices es cierta, entonces permutar las filas y las columnas de la matriz debería producir con igual probabilidad un menor o mayor coeficiente. Además de superar el problema de la dependencia estadística de los elementos de las dos matrices, usar los test de permutación elimina la necesidad de hacer hipótesis sobre la distribución estadística de los elementos de las matrices.

3.3. Resultados

El test de Mantel para determinar la correlación entre las matrices de las distancias matemáticas y las distancias perceptuales arrojó los siguientes resultados:

  • Correlación entre las medidas perceptuales y la distancia de permutación dirigida: r=076 y p=0’03.
  • Correlación entre las medidas perceptuales y la distancia cronotónica: r=0’66 y p=0’017.

Se puede ver que la correlación es más alta para la distancia de permutación dirigida que para la distancia cronotónica, si bien en ambos casos es alta. También se puede observar que las medidas perceptuales se acercan más a la distancia de permutación dirigida que a la distancia cronotónica, tanto en términos de agrupamiento como del ritmo más diferente.

4. Conclusiones

Como dijimos al principio del artículo, el trabajo de Guastavino y colaboradores tiene la virtud de comprobar la validez perceptual de las distancias matemáticas. Los resultados del experimento corroboran su validez. No obstante, los resultados son limitados, pues el número de patrones rítmicos es muy pequeño. En mi (humilde) opinión, y a pesar de ser coautor de los dos artículos, creo que la distancia de permutación dirigida no refleja la distancia perceptual del ritmo. He aquí un ejemplo que ilustra mi objeción. Consideremos los dos ritmos siguientes:

  • R1 = [x . . x . . x . . . x . x . . . ] (la clave son).
  • R2 = [x . . x . . x . . . x . . x . . ] (la clave bossa-nova).

Su distancia de permutación dirigida es 1; basta mover la quinta nota de la clave son un pulso hacia delante para obtener la clave bossa-nova. Sin embargo, perceptualmente son muy diferentes. El primer ritmo, la clave son, tiene una clara estructura de pregunta/respuesta; pínchese en el ritmo para comprobarlo. Mientras que el segundo, la clave bossa-nova no tiene esa estructura, sino otra más compleja. La clave bossa-nova está formada por cuatro notas de duración tres pulsos y una nota de duración cuatro pulsos. Esta composición hace que tras oírse unas cuantas veces, a causa del principio de continuación, la clave se perciba como un único tren de pulsos regulares de duración tres pulsos acabado por uno de cuatro; pínchese en el ritmo para comprobarlo. Con este ejemplo vemos que dos ritmos a distancia 1, la mínima distancia que puede dar la distancia de permutación dirigida, pueden ser perceptualmente muy diferentes.

 

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